Archive for septembre 2008

Le top 100 des nombres entiers

septembre 14, 2008

Quels sont les nombres entiers les plus utilisés dans le monde? Pour répondre à cette question saugrenue utilisons le moteur de recherche Google et voyons le nombre de page référencés pour chacun des cents premier nombre (  » 1 « ,  » 2 « ,  » 3 « …). Le résultat est le suivant:

Bien sur on constate que plus le nombre est grand et moins il est fréquemment utilisé (on parle plus souvent de 3 citrons que de 48 patates par exemple), on peut remarquer également que le nombre « 2 » (qui est le champion) est plus utilisé que le nombre « 1 », sans doute parce que le nombre 1 est souvent representé de manière implicite ou en toute lettre (« un »).

Les points rouges représentent les nombres premiers et les points verts les multiple de 10. On constate que les multiples de 10 sont plus souvent utilisés que leurs proches voisins, ce qui est logique puisque l’on a tendance à arrondir les valeurs.

Enfin on peut remarquer sur ce graphe deux curieuses cassures: la première montre une chute brutale après le nombre 30, l’autre une chute brutal après 60. Pour la première cassure, l’explication qui me semble la plus simple (en admettant que ce ne soit pas un artefact de Google)  serait de dire qu’elle est la conséquence du fait qu’il n’y a que 30 jours dans le mois (ce qui voudrait dire qu’ environs 50% des nombres inférieur à 30 ne servent qu’à la datation…). La seconde cassure proviens peut-être des untités temporel: 60 min dans une heure, 60 secondes dans une minute (ce qui voudrait dire qu’environs 50% des nombres compris entre 30 et 60 servent à marquer les minutes et les secondes). Mais ce n’est là qu’une hypothèse.

Il y a également une petite cassure après le nombre 100, qui résulte peut-être d’un seuil psychologique.

Espaces à n dimensions

septembre 5, 2008

Je me souviens qu’au Collège puis au Lycée j’étais frappé par la simplicité des lois de la physique et par la petitesse des coefficients (toujours proche de l’unité) qui accompagnait les constantes.

Une partie de cette simplicité peut s’expliquer par les propriétés liées au faible nombre de dimensions de notre espace.

Prenons le cas simple de la surface et du volume d’une sphère de rayon égale à l’unité, dans un espace à trois dimensions nous avons S=12.5 (4pi) et V=4.188(4pi/3). Si on extrapole à un espace à n dimension nous avons :

S=\frac{nr^{n-1}\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}

V=\frac{r^{n}\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}

Ce qui donne graphiquement:

volume d'une sphère de n dimensions
volume d’une sphère à n dimensions(r=unité)
Surface d'une sphère de n dimensions
Surface d’une sphère à n dimensions(r=unité)

coef maximal de 5.2777 pour n=5.26.

coef maximale de 33.16 pour n=7.3.

Nous constatons donc que les coefficients de proportionnalité restent relativement proche de l’unité en tout cas pour n<20, au delà les coefficient tendent vers zéros. Leurs valeurs maximales ne dépasses pas  2.6 fois les valeurs des coefficients de l’espace à 3 dimension.

Si les espaces étaient bien supérieur à trois dimensions nous aurions des coefficients géométriques très éloignés de l’unité ce qui aurait compliqué l’expression des formules de la physique.

Autre illustration des propriétés particulières des espaces à n dimensions: le nombre de polyèdres régulier:

Dimensions d’espace

Nombres de polyèdres réguliers

 

2

 

infini

3

5

4

6

>4

3

.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

Ce tableau montre que le nombre de polyèdres régulier est toujours proche de l’unité (sauf paradoxalement pour n=2), avec un maximum de 6 pour un espace à 4 dimensions.

On peut donc remarquer dans ces deux exemples que les espaces à n dimensions ont des propriétés remarquables pour des valeurs de n proche de l’unité et une certaine monotonie au delà:

– coefficient volumique maximal pour n=5

– coefficient surfacique maximal pour n=7

– nombre de polyèdre maximal pour n=4

Ce n’est donc probablement pas par hasard si nous somme dans un espace à faible nombre de dimension…

Rq: les conjectures mathématiques qui sont généralement faciles à démontrer pour tout espace à n dimensions le sont beaucoup moins pour un espace à 3 dimensions (la conjecture de Poincaré en est un bon exemple). L’extrapolation des lois de la propagation des ondes ou de la gravitation sur un espace autre que 3 dimensions a montré également la grande singularité de notre espace.