Archive for the ‘physique’ Category

Espaces à n dimensions

septembre 5, 2008

Je me souviens qu’au Collège puis au Lycée j’étais frappé par la simplicité des lois de la physique et par la petitesse des coefficients (toujours proche de l’unité) qui accompagnait les constantes.

Une partie de cette simplicité peut s’expliquer par les propriétés liées au faible nombre de dimensions de notre espace.

Prenons le cas simple de la surface et du volume d’une sphère de rayon égale à l’unité, dans un espace à trois dimensions nous avons S=12.5 (4pi) et V=4.188(4pi/3). Si on extrapole à un espace à n dimension nous avons :

S=\frac{nr^{n-1}\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}

V=\frac{r^{n}\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}

Ce qui donne graphiquement:

volume d'une sphère de n dimensions
volume d’une sphère à n dimensions(r=unité)
Surface d'une sphère de n dimensions
Surface d’une sphère à n dimensions(r=unité)

coef maximal de 5.2777 pour n=5.26.

coef maximale de 33.16 pour n=7.3.

Nous constatons donc que les coefficients de proportionnalité restent relativement proche de l’unité en tout cas pour n<20, au delà les coefficient tendent vers zéros. Leurs valeurs maximales ne dépasses pas  2.6 fois les valeurs des coefficients de l’espace à 3 dimension.

Si les espaces étaient bien supérieur à trois dimensions nous aurions des coefficients géométriques très éloignés de l’unité ce qui aurait compliqué l’expression des formules de la physique.

Autre illustration des propriétés particulières des espaces à n dimensions: le nombre de polyèdres régulier:

Dimensions d’espace

Nombres de polyèdres réguliers

 

2

 

infini

3

5

4

6

>4

3

.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

Ce tableau montre que le nombre de polyèdres régulier est toujours proche de l’unité (sauf paradoxalement pour n=2), avec un maximum de 6 pour un espace à 4 dimensions.

On peut donc remarquer dans ces deux exemples que les espaces à n dimensions ont des propriétés remarquables pour des valeurs de n proche de l’unité et une certaine monotonie au delà:

– coefficient volumique maximal pour n=5

– coefficient surfacique maximal pour n=7

– nombre de polyèdre maximal pour n=4

Ce n’est donc probablement pas par hasard si nous somme dans un espace à faible nombre de dimension…

Rq: les conjectures mathématiques qui sont généralement faciles à démontrer pour tout espace à n dimensions le sont beaucoup moins pour un espace à 3 dimensions (la conjecture de Poincaré en est un bon exemple). L’extrapolation des lois de la propagation des ondes ou de la gravitation sur un espace autre que 3 dimensions a montré également la grande singularité de notre espace.

Loi de Murphy et Entropie.

juillet 27, 2008

Surface de Venus par Venera 14

Surface de Venus par Venera 14

Cette image envoyé par la sonde russe Venera 14 est un bon exemple de ce qu’est la loi de Murphy. Sous le bras mécanique visible au milieu de l’image on aperçois un objet circulaire qui n’a rien à faire ici : cet objet n’est rien d’autre que le couvercle de protection de la caméra qui a été éjecté par la sonde et qui est malencontreusement tombé exactement à l’endroit où le capteur du bras mécanique devais ce rabattre pour prendre des mesures du sol Vénusien…

La loi de Murphy est une loi empirique qui exprime un fait que tout le monde expérimente au quotidien et que l’on peut généraliser par le constat suivant : dès que l’on entreprend quelque chose une série de problèmes semble comploter contre nous.

La loi de Murphy s’attache plus particulièrement aux problèmes liés à la conception d’objets ou de systèmes complexes, et au fait que ces objets destinés à des fonctions particulières peuvent être mal employés par l’utilisateur et mener au désastre. Malgré tous les efforts d’une armada d’ingénieur il arrive presque toujours qu’un utilisateur trouve, bien malgré lui, la faille fatale.

La meilleure solution est sans doute de simplifier au maximum les systèmes et de limité les degres de libertés (utiliser par exemple un détrompeur).

Le problème c’est que le défaut de conception d’un objet est généralement inhérent à sa fonction et ne peut donc être supprimé, on peut citer le râteau comme exemple, la forme et les dimensions de cet objet est idéal pour sa fonction mais elle comporte une faille : si on le laisse traîner parterre dans le jardin on à une chance de marcher sur son extrémité, or la petitesse des dent du râteau allié à la longueur du manche fait que l’on risque fort de recevoir un coup violant à la tête.

En fait, à bien y réfléchir, on se rend compte que la loi de Murphy traduit un problème cosmique insoluble lié au fait que l’on cherche à imposer une volonté singulière à un monde doté d’innombrable degrés de libertés.

On voit là un lien évident entre la Loi de Murphy et l’entropie, l’entropie mesure le degrés d’ordre d’un état en fonction du nombre de combinaison possible menant à ce même état, or il y a beaucoup plus de combinaisons (ou complexion) non désirés que de combinaison désirés, ce qui fait qu’un système aura toujours tendance à vouloir tendre vers un états non désiré (beaucoup plus probable car potentiellement beaucoup plus nombreux), c’est à dire vers une entropie ou un désordre plus grande.

Entreprendre quelque chose consiste à faire une série d’action bien défini, ces actions peuvent tolérer quelques variantes mais elles sont bien moins nombreuses que celles, souvent catastrophique, produite par le simple hasard.

Dans le cas d’un objet destinée à une fonction particulière le phénomène peut s’inverser, c’est à dire que la faille, si elle existe, est peu probable mais si le nombre d’utilisation est suffisamment grand alors elle finira par ce manifester.

La loi de Murphy traduit le fait que le hasard passe son temps à explorer toutes les combinaisons de la matière que lui autorise les nombreux degrés de liberté de l’Univers, sans cela la vie et l’homme ne serait jamais apparu sur terre… Alors avant de pester contre la Loi de Murphy rendez vous bien compte qu’elle n’est en fait que la conséquence d’un monde Libre.

Un monde sans loi de Murphy serait totalitaire et sans vie !

Le câble nucléaire

février 13, 2008

cablenuc2.jpg

Toutes les forces que l’on rencontre dans notre vie quotidienne sont d’origine électromagnétique. Cette force électromagnétique qui relie (ou repousse) les atomes entre eux, est responsable de la cohésion de tous les matériaux naturelle ou artificiel de notre univers, c’est aussi elle qui nous permet de prendre un verre ou de nous asseoir sur une chaise.

 

Mais aussi puissante soit elle, cette force a des limites, et celle-ci posera un jour des problèmes si nous voulons construire dans l’avenir des méga structures telles que, par exemple, des planètes artificielles en rotation (en forme de cylindre ou d’anneaux). Est-il envisageable de créer des matériaux capables de résister à des pressions dépassant les limites électromagnétiques ?

 

L’unique force de liaison plus forte que la force électromagnétique est la force nucléaire forte, celle qui relie les nucléons entre eux (et les quarks). Est-il possible d’un point de vue théorique et pratique de créer des « câbles nucléaire », c’est-à-dire des câbles entièrement formés de nucléons ?

On pourrait imaginer par exemple un collier de protons et de neutrons, le tout entourer d’une peau d’électrons. Un tel atome linéaire est-il stable ? J’ignore si il est possible de répondre rigoureusement à cette question mais cela ne semble pas complètement impossible.

 

Il semble évident qu’un tel câble aurait tendance à ce mettre en boule, il ne peut donc exister que tendu. Par ailleurs sa jonction avec la « matière ordinaire » peut poser problème, il faudrait prévoir une structure pyramidales (ou en « branche d’arbre ») aux extrémités pour diminuer la force de tentions au niveau des atomes afin d’assurer la jonction entre la matière ordinaire et ce câble super dense.

 

L’autre problème est lié à sa stabilité quantique, un proton pourrait-il s’échapper du câble par effet tunnel et rompre la cohésion, et qu’en est-il de la stabilité du neutron ?

 

Dans la nature une paire de proton ne survie pas plus de quelque millième de seconde, il suffis pourtant d’un seul neutron supplémentaire pour assurer sa stabilité (3He). La géométrie d’un câble filiforme est différant de celui d’un noyau atomique, mais, à première vue, un collier de nucléons constitué alternativement de protons et de neutrons pourrait bien être stable.

Admettons donc la chose et voyons quelle propriété pourrait avoir un tel câble :

Un câble fait de matière ordinaire est limité par la force électromagnétique que ces atomes produisent entres eux :

Force typique entre deux atomes : un energie de 10ev sur un rayon atomique, soit une force de l’ordre de 2.10-8N (E=F.r). Se qui donne une tension au niveau du câble de P=F/r2=2.1012N/m2. Soit Pmax=2.108tonnes/m2ou encore Pmax=200 tonnes/mm2.

L’acier résiste à 100 kg/mm2(1 Gpa), le Kevlar à 400 kg/mm2(4Gpa) et les nanotubes qui sont les plus solides ont quant à eux une résistance théorique de 13 tonnes/mm2(130 Gpa), 6.5 tonnes/mm2en pratique (actuellement).

l’énergie de liaison entre nucléon est de l’ordre de 8 Mev (800 000 fois plus qu’entre deux atomes!), La pression (ou tentions) maximal peut être calculé à partir de cette valeur, une pression étant une densité d’énergie on a : Pmax=E/r3 =1033 N/m2 ou 1e23 tonnes/mm2, soit l’équivalant du poids d’un homme sur un seul nucléon !

Un homme pourrait donc (à l’instar de la fameuse pub pour super glu) être suspendu au plafond par un seul « fil nucléaire »…

La masse d’un tel fil serait si faible (1.6e-12 kg/m) que 0.4 g de matière suffirait à relier la terre et la lune (utile pour les ascenseurs spatiaux…).

(Malheureusement il pourrait aussi devenir une redoutable et sournoise arme destructrice : ce fil est si fin qu’il serait aussi invisible que pénétrant et si résistant qu’il pourrait couper en deux n’importe quoi…mais n’en est-il pas ainsi de toutes les inventions?)

Quelques fils tressés ou mis côte à cote formeraient des câbles ultra résistants avec des rapports résistance/masse défiant l’imagination. De quoi pouvoir construire n’importe quel méga structure ultra-légères.

Nul doute que si c’est théoriquement possible cela existe déjà quelque part chez une lointaine civilisation…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le Sténopé télescopique

février 2, 2008

ou comment faire d’un petit trou un télescope ?

« Le sténopé est un dispositif optique simplissime permettant d’obtenir un appareil photographique dérivé de la camera obscura. Il s’agit d’un simple trou, de très faible diamètre. Par extension on appelle ainsi l’appareil photographique utilisant un tel dispositif. » (wikipédia)

Un sténopé peu théoriquement donner des images de n’importe quel résolution, pour peu qu’on utilise une chambre noire de taille suffisante. En réalité à partir d’une certaine dimension l’image est si grande que toute la lumière pénétrant par le petit trou est trop dilué pour être visible à l’œil nu.

La question que je me pose ici est de savoir si un sténopé peut former une image dont la résolution serait supérieure à la résolution de l’œil humain, autrement dit était-il possible de construire un télescope avant l’invention de l’optique ? Si oui, le seul objet astronomique suffisamment lumineux pouvant faire l’objet d’une telle observation est le soleil.

Voyons ce que donne le calcul de la résolution angulaire d’un sténopé :

{\delta}=\frac{1.2\lambda}{d}+\frac{d}{2D}

avec d la résolution angulaire du sténopé

l la longueur d’onde de la lumière (550nm)

d : le diamètre du trous de l’entrée

D : distance du trou au plan image

Le terme de gauche représente la tache de diffraction, le terme de droite la tache géométrique (simple projection du trou sur le plan image).

Pour avoir une image de résolution d, la valeur optimale de d et D est déterminée par l’égalité des deux termes, on trouve alors :

{D}=\frac{2.4\lambda}{\delta^2}

{d}=\frac{2.4\lambda}{\delta}

Ainsi pour avoir un télescope de résolution égale à l’œil humain (d=3.10-4 rad) il faut :

D=14.7m

d=4mm

L’image du soleil aurait alors un diamètre de D*tan(0.5°)= 12.8 cm.

c’est à peut-près le cas du « sténopé » de la Cathédrale St Pierre de Bologne, dont le trou est situé à plus de 30m (cela servait de marque midi), par contre j’ignore le diamètre du trou. notons que si ce diamètre était de l’ordre de 5mm, les hommes de l’époque auraient pu observer des tache solaires avant Galilée…

DSCN1388

La luminosité de l’image observé est 2*(d/D)2=1.48e-7 soit 6.7 millions de fois plus faible qu’à l’œil nu, soit une perte de +17.07 magnitudes, le soleil ayant une magnitude de -26.8, son image n’a alors plus qu’une magnitude de -26.8+17.07=-9.73. Sachant que la pleine lune à une magnitude de -12.7, on constate que l’image du soleil ainsi formé est moins brillante que la pleine lune. Chaque élément de résolution reçois une quantité de lumière équivalente à une étoile de magnitude de -9.73+7=-2.73.

Ce petit calcul montre que l’on peut encore augmenter la résolution de l’image du soleil, la limite absolue étant atteinte lorsque la quantité de lumière perçue par élément de résolution atteint 6, se qui laisse encore une marge de 8.73 magnitude soit un rapport de 3100. La réponse à ma question est donc oui, mais de combien est-il encore possible de grossir l’image ?

La luminosité de l’image (pour un observateur et par secteur de résolution) est proportionnelle au carré de la résolution. Ainsi la marge de luminosité de 3100 qui nous reste pour augmenter le grossissement de l’image nous permet un grossissement G de (3100)1/2=55.7x, ce qui correspond exactement au grossissement maximal toléré par la turbulence atmosphérique (la résolution angulaire toléré par la turbulence atmosphérique est de l’ordre de la seconde d’arc). Notons que l’observateur devra se situer à D/G de l’écran de projection.

Bien sûr il y a le problème de l’encombrement, car un sténopé télescopique capable de grossir 56 fois l’image du soleil aurait des dimensions…astronomique : D=45.6km, d=223mm, l’image du soleil ferait 397m de diamètre….

En réalité c’est là une limite absolu pour l’œil qui n’offre guère de contraste, pour avoir un minimum de contraste l’image doit être plus lumineuse (ou utiliser un film photographique ou un CCD), un grossissement de 6x devrait donner une image raisonnablement contrasté pour l’œil nu (S/B=100). On aurait alors d=24mm, D=960m et un diamètre du disque solaire de 8.4m (l’observateur devra alors se trouver à 160m de l’écran de projection).

Il ne reste plus qu’à trouver un lieu pour réaliser ce télescope primitif…

En attendant, une équipe c’est déjà amusé à réaliser un sténopé géant à l’aide d’un hangar pour photographier un paysage.

Le pendule, le mètre et la seconde

janvier 29, 2008

La demis période d’un pendule est donné par :

t=\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

L étant la longueur du pendule et g l’accélération gravitationnelle. Si on prend pour longueur du pendule l’unité de distance L=1m et g=9.81 on trouve :

T=1.0030 s

Soit 1s à 3ms près. Ce résultat surprenant n’est pas une coïncidence, il nous rappel simplement qu’il y a un lien historique entre le pendule, le mètre et la seconde.

La seconde est une très ancienne unité de temps, elle date du temps des babyloniens qui l’avait défini comme étant la durée approximative séparant deux battements du cœur. A la révolution française on a voulu mettre de l’ordre dans les unités, et la seconde fut défini comme une fraction précise de la journée (jour solaire moyen) soit 1J/(24x60x60).

On proposa alors pour l’unité de longueur la longueur d’un pendule ayant pour demis période la seconde, mais c’est finalement le dix millionième du quart de la circonférence de la terre qui fut retenue.

La véritable coïncidence est dans le fait que les définitions du mètre et de la seconde, qui sont rattaché à deux valeurs contingentes et indépendantes (la circonférence de la terre et la durée du jour), trouvent des expressions simples tout en restant pourtant très proche de la définition du pendule. On aurait bien sûr trouvé d’autres combinaisons numériques si la taille de la terre ou la durée du jour eut été différente, mais la précision obtenue (0.3%) et la combinaison élégante des facteurs numériques utilisé (le 10 millionième du quart de circonférence terrestre pour les longueurs ou l’équipartition des minutes et des secondes en multiple de douze pour le temps), font que cette coïncidence est belle et bien remarquable quoique parfaitement dû au hasard.

Mais là ou ça deviens vraiment étonnant c’est lorsque on s’amuse à mettre en relation la définition de la seconde que donne le pendule, et la définition du mètre rattaché à la circonférence de la terre. On se rend compte alors que la durée de la seconde reste indépendante du rayon de la terre, c’est-à-dire que si le rayon de la terre augmente par exemple, le mètre augmente, donc la longueur du pendule augmente, or l’accélération du pendule qu’aurait provoqué l’augmentation de la gravité est exactement compensé par l’augmentation de la longueur du pendule !

Ceci est du au fait que la gravité à la surface d’une planète est proportionnel au rayon de celle-ci (à densité constante).

Cette dernière coïncidence n’est plus le fait du hasard mais le fait de la géométrie…