Posts Tagged ‘Benford’

La loi de Benford

août 29, 2008

Quand j’étais au lycée j’avais remarqué sur ma calculatrice, que je m’apprêtais à nettoyer, plus de crasse sur le chiffre 1 et 2 que sur les autres chiffres. Intrigué je décidais de ne pas la nettoyer et à la fin de l’année je constatais qu’il existait une sorte de loi universel produisant un encrassement inversement proportionnel à la valeur du chiffre indiqué sur les touches des calculatrices. Je n’arrivais pas à admettre que les petit chiffres étaient plus souvent utilisés que les grands, il me semblait évidant que le hasard devait aplanir toute hiérarchie de ce genre…

Ne trouvant pas d’explication et les vacances étant arrivées j’oubliais complètement cette observation, jusqu’au jours où des années plus tard je tombe sur un article parlant de la loi de Benford.

Cette loi a était découverte pour la première fois par Newcomb (1881), qui remarqua une usure non uniforme des tables logarithmiques, c’est à dire que les premières pages étaient plus usées que les dernières, il comprit que cela venait du fait que les ingénieurs et les physiciens qui utilisait ces tables manipulait des nombres naturel (résultat de mesures) dont le premier chiffre avait la curieuse propriété de contenir plus de 1 que de 2 et plus de 2 que de 3 etc.. le chiffre 9 étant le moins représenté. Il consulta alors des bases de données naturelles comme la superficie des lacs du monde ou le poids moléculaires de différent composés chimiques. Il trouvas une relation empirique qui donne la probabilité que le premier chiffre d’un nombre naturel soit n :

P(p=n)= Log(1+1/n))

Log étant le logarithme de base 10. Ce qui donne graphiquement :

Malheureusement pour Newcomb on ne prêtât guère attention à sa remarque pertinente, par contre l’histoire retiendra son nom pour une tout autre démonstration: Celle qui prétendait prouver l’impossibilité du vol maîtrisable du plus lourd que l’air…

Ce n’est qu’en 1938 que Benford refit indépendamment la découverte. Il poussa plus loin les vérifications et donna son nom à la loi.

D’où vient cette loi? Cette loi touche essentiellement les nombres issus d’une valeur naturelle (dimensions, prix, dénombrement…), elle résulte de l’invariance d’échelle des objets naturels. Cette invariance d’échelle peut ce comprendre par le simple fait que dans un espace fini il y aura toujours plus de petits objets que de grands. Il en résulte que l’échelle naturelle n’est pas linéaire mais logarithmique, si on représente graphiquement le nuage de points d’une population donnée (par exemple la superficie des lacs) ces points vont ce répartir relativement uniformément sur un graphe logarithmique, on comprend des lors qu’il y aura plus de points entre 2 et 1 qu’entre 3 et 2, etc…. la quantité de points représentant la valeur d’un nombre dont le premier chiffre est 1 sera égale à log(2)-log(1), la quantité de points dont le premier chiffre est 2 sera égale à log(3)-log(2), la quantité de points dont le premier chiffre est n sera égale à log(n+1)-log(n)=log(1+1/n).

Il faut toutefois que ces objets n’aient pas de tailles caractéristiques (comme la taille d’une seule espèce animal), et qu’ils existent sur plusieurs ordre de grandeur. La loi ce retrouve assez bien pour: la surface des lacs, la longueur des fleuves, le prix, la population urbaine, etc…

Application: la loi de Benford a trouvé une application étonnante, elle permet en effet de repérer les fraudes fiscales…