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Espaces à n dimensions

septembre 5, 2008

Je me souviens qu’au Collège puis au Lycée j’étais frappé par la simplicité des lois de la physique et par la petitesse des coefficients (toujours proche de l’unité) qui accompagnait les constantes.

Une partie de cette simplicité peut s’expliquer par les propriétés liées au faible nombre de dimensions de notre espace.

Prenons le cas simple de la surface et du volume d’une sphère de rayon égale à l’unité, dans un espace à trois dimensions nous avons S=12.5 (4pi) et V=4.188(4pi/3). Si on extrapole à un espace à n dimension nous avons :

S=\frac{nr^{n-1}\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}

V=\frac{r^{n}\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}

Ce qui donne graphiquement:

volume d'une sphère de n dimensions
volume d’une sphère à n dimensions(r=unité)
Surface d'une sphère de n dimensions
Surface d’une sphère à n dimensions(r=unité)

coef maximal de 5.2777 pour n=5.26.

coef maximale de 33.16 pour n=7.3.

Nous constatons donc que les coefficients de proportionnalité restent relativement proche de l’unité en tout cas pour n<20, au delà les coefficient tendent vers zéros. Leurs valeurs maximales ne dépasses pas  2.6 fois les valeurs des coefficients de l’espace à 3 dimension.

Si les espaces étaient bien supérieur à trois dimensions nous aurions des coefficients géométriques très éloignés de l’unité ce qui aurait compliqué l’expression des formules de la physique.

Autre illustration des propriétés particulières des espaces à n dimensions: le nombre de polyèdres régulier:

Dimensions d’espace

Nombres de polyèdres réguliers

 

2

 

infini

3

5

4

6

>4

3

.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

Ce tableau montre que le nombre de polyèdres régulier est toujours proche de l’unité (sauf paradoxalement pour n=2), avec un maximum de 6 pour un espace à 4 dimensions.

On peut donc remarquer dans ces deux exemples que les espaces à n dimensions ont des propriétés remarquables pour des valeurs de n proche de l’unité et une certaine monotonie au delà:

– coefficient volumique maximal pour n=5

– coefficient surfacique maximal pour n=7

– nombre de polyèdre maximal pour n=4

Ce n’est donc probablement pas par hasard si nous somme dans un espace à faible nombre de dimension…

Rq: les conjectures mathématiques qui sont généralement faciles à démontrer pour tout espace à n dimensions le sont beaucoup moins pour un espace à 3 dimensions (la conjecture de Poincaré en est un bon exemple). L’extrapolation des lois de la propagation des ondes ou de la gravitation sur un espace autre que 3 dimensions a montré également la grande singularité de notre espace.